动点数学 / 圆的轨迹
六年级 · 圆与轨迹 · 一次完整滚动

圆绕五角星滚一圈，转几圈？

让圆自己走给你看。沿着星边贴着滚，绕过尖角，滑进凹口——薄荷色的圆心轨迹、被扫过的暖金色阴影，以及每一圈自转，都藏在这颗五角星里。

圆心运动轨迹 圆形扫过区域 包含自转圈数
Interactive demo

让圆心走完这一圈

自转累计 0.00圈 贴边 0/10 · 外尖 0/5
凹角 A 旁的出发位置

按 BC = 圆周长 等比例绘制 · 动画不等同于原题示意图比例

速度
拖动进度，回看任意一个瞬间 准备出发
外尖：144° 圆弧 凹角：折点 从 A 出发，绕行一周
圆心轨迹 圆扫过的阴影区域 圆上的自转标记 空格 Space 播放 / 暂停 · R 重置
Key idea

不只看星形，
要看圆心怎样走。

圆心轨迹把一次复杂滚动拆成了三种动作。每一种动作，对应着不一样的“自转贡献”。

贴着直边滚动

圆心在十段贴边直路上的行程都等于 BC。每一段行程恰好是 1 个周长。

× 10

绕过五个外尖

每个星尖内角 36°。圆心绕它转过 180° − 36° = 144°。

5 × 0.4

经过五个凹角

圆心轨迹只在这里拐折，没有圆弧，也没有额外的自转。

+ 0
本动画严格满足 BC = 圆周长。由正五角星的旋转对称性，圆心的十段贴边直路都与 BC 等长，因此每段都恰好对应一个周长。
Solution

把“公转一圈”
拆成自转的加法。

共转 12 圈 包括圆绕过五个
星尖时产生的自转
1

贴边：十段，每段 1 圈

圆最初卡在凹角 A 的缺口中，与水平星边相切于 B，与斜星边相切于 D。沿水平星边滚动时，切点从 B 移到星尖 C，正好经过一个圆周长的路程。由五角星的旋转对称性，圆心的十段贴边直路都与 BC 等长，所以贴边部分贡献 10 × 1 = 10 圈。

2

外尖：五段圆弧，共 2 圈

圆心绕过每个 36° 的星尖时，对应轨迹是一段 144° 的圆弧。五个外尖合计 5 × 144° = 720°，也就是 2 圈。

3

凹角：是折点，不是圆弧

在 A 这样的凹角处，圆同时贴着两条边；圆心轨迹直接由一条平行线折向另一条平行线，没有画弧，所以不添圈。这也是这道题最容易多算或少算的地方。

10 圈（贴边）＋ 2 圈（五个外尖） = 12 圈

小提示：凹角处圆心确实在换方向，但这不等于圆又自转了一圈。自转由圆心轨迹的弧长决定：这里只有折点，弧长为 0，所以既不加圈，也不减圈。